Problema trivial para pensar um pouco
Um número n tem a propriedade p se somente se a soma dos divisores de n é 2n. Provar que não há quadrados perfeitos com propriedade p.
posted by Jornal Sigma at 3:08 PM
Thursday, September 28, 2006
5 Comments:
A soma dos divisores de um quadrado perfeito sempre é ímpar, então é impossível que ela seja 2n.
Bom.
A soma dos divisores de um número na fatoração P1^A1,P2^A2,P3^A3...,PN^AN(A^B = A elevado à B) é igual a (A1 + 1).(A2 + 1).(A3 + 1).....(AN + 1). Porém, todos os expoentes são pares, nos quadrados perfeitos. Ou seja , a soma dos divisores será um produto de números ímpares, ou seja, não existem quadrados perfeitos com a propriedade P.
vcs complicam muito... um quadrado perfeito têm uma qtdade ímpar de divisores. Se n é par , ele é 2 elevado a 2k ,vezes alguma coisa. Assim, há um número par de divisores pares e portanto, um número ímpar de divisores ímpares. par.par + ímpar.ímpar= ímpar. Assim, a soma dos divisores de n é ímpar. ABSURDO. Se n é ímpar há um número ímpar de divisores ímpares. assim, a soma dos divisores de n é ímpar.ímpar = ímpar. A soma dos divisores de n é ímpar. ABSURDO. Assim, um quadrado perfeito n nunca pode ter a soma dos divisores igual à 2n. TRIVIAL.
A solução do joão foi muito trivial.
e daí? falei pouco mas falei bonito.
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